Les fonctions exponentielle et logarithme

Une suite ne donne des valeurs qu’aux rangs entiers. Une fonction en donne partout — et c’est ce qui permet de répondre à « au bout de combien de temps ? ».

Au chapitre 14, la suite uₙ = u₀ × qⁿ ne se calculait que pour n entier : la première année, la deuxième, la troisième.

Mais rien n’empêche de calculer 1,054^1,5 ou 1,054^0,25 — on l’a d’ailleurs fait au chapitre 15 pour un placement de dix-huit mois.

On obtient alors une fonction, définie pour tout x réel — en gestion, on l’emploie pour x ≥ 0 : f(x) = u₀ × q^x. Sa courbe passe par tous les points de la suite, et elle les relie.

La fonction exponentielle de base q. f(x) = q^x, définie pour tout x réel, avec q > 0.

· Si q > 1, la fonction est croissante et tend vers l’infini.

· Si 0 < q < 1, elle est décroissante et tend vers zéro sans jamais l’atteindre.

· f(0) = 1, toujours : toute puissance zéro vaut 1.